Question

（2013•茂名一模）已知函數g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函數f（x）是函數g（x）的導函數．
（1）若a=1，求g（x）的單調減區間；
（2）當a∈（0，+∞）時，若存在一個與a有關的負數M，使得對任意x∈[M，0]時，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相應的a值．

Answer 1

分析：（1）若a=1時，g(x)=

1

3

x3+2x2-2x，求導數，利用導數小于0，可得函數的單調減區間．
（2）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結合二次的象與性質，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解．

解答：解：（1）當a=1時，g(x)=

1

3

x3+2x2-2x，g′(x)=x2+4x-2…（2分）
由g'（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

…（4分）
∴當a=1時函數g（x）的單調減區間為(-2-

6

，-2+

6

)；…（5分）
（2）易知f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對稱軸x=-

2

a

＜0…（7分）
①當-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2時，M∈(-

2

a

，0)且f（M）=-4令ax²+4x-2=-4解得x=

-2± 4-2a

a

…（8分）
此時M取較大的根，即M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2

4-2a +2

＞-1…（10分）
②當-2-

4

a

≥-4即a≥2時，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得x=

-2± 4+6a

a

…（11分）
此時M取較小的根，即M=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-6

4+6a -2

≥-3當且僅當a=2時取等號…（13分）
由于-3＜-1，所以當a=2時，M取得最小值-3  …（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．