Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作與x軸垂直的直線，分別與雙曲線、雙曲線的漸近線交于點M、N（均在第一象限內），若

FM

=4

MN

，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：取雙曲線雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線其方程為y=

b

a

x，將x=c代入漸近線方程，利用

FM

=4

MN

，結點M在雙曲線上，可得

c2

a2

-

m2

b2

=1，從而得出b，c之間的關系：5b=4c，最后利用率心率公式即可得出雙曲線的離心率．

解答： 解：取雙曲線雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線其方程為y=

b

a

x，
設M(c，m)，N(c，

bc

a

)，

FM

=4

MN

，則m=4(

bc

a

-m)⇒25m2=

16b2c2

a2

①
點M在雙曲線上，∴

c2

a2

-

m2

b2

=1②
由①②及c²=a²+b²得9c²=25a²，
∴e=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．