Question

已知函數(shù),.
(1)討論在內(nèi)和在內(nèi)的零點(diǎn)情況.
(2)設(shè)是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),求在上的最值.
(3)證明對(duì)恒有.

Answer 1

(1)在內(nèi)有唯一零點(diǎn);在內(nèi)無零點(diǎn).(2) 在有最大值;在的最小值.(3)詳見解析.

試題分析：(1)首先求導(dǎo)確定在、內(nèi)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)判定定理確定的零點(diǎn)情況； (2)求導(dǎo)得，所以 在有最大值,又是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在的最大值為.再由(1)的結(jié)論知在的最小值應(yīng)為.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知時(shí),有,即
 ，得，再將左右兩邊放縮相加即得.
(1)在有唯一零點(diǎn),易知在單增而在
內(nèi)單減,且,故在和內(nèi)都至多有一個(gè)零點(diǎn).
又,
故在內(nèi)有唯一零點(diǎn);
再由知在內(nèi)無零點(diǎn).
(2)由(1)知在有最大值,
故在有最大值;
再由(1)的結(jié)論知在的最小值應(yīng)為.
由知,于是在的最小值.
(3)由(2)知時(shí),有,即
                      ①
取,則且,將的值代入①中,可得

             ②
再由,得
                ③
相仿地,時(shí),,故
            ④
而時(shí)④即,顯然也成立.故原不等式成立.