Question

已知f(x)=e^x-t(x+1).
（1）若f(x)≥0對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求t的取值范圍；
（2）設(shè)，且A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁≠x₂)是曲線y=g(x)上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍；
（3）求證：(n∈N*).

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分離變量得，再設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法判斷的單調(diào)性、極值，從而求出的取值范圍；（2）設(shè)x₁、x₂是任意的兩實(shí)數(shù)，且x₁<x_2，
，則，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，即恒成立，即對(duì)任意的t≤-1，x∈R，恒成立，再用均值不等式求的最小值，從而求得；（3）由（1）知，，得，令，放縮得，把
取，則
取，則
而用導(dǎo)數(shù)法
（1）(x>0)恒成立.
設(shè)(x≥0)，則，
∴在單調(diào)遞增，（x=1時(shí)取等號(hào)），
∴t≤1         4分.
（2）設(shè)x₁、x₂是任意的兩實(shí)數(shù)，且x₁<x_2，
，故，
設(shè)，則F(x)在R上單增，（7分）
即恒成立.
即對(duì)任意的t≤-1，x∈R，恒成立.
而
故m<3.（9分）
（3）由（1）知，
取，則


∴(n∈N*).（14分）