Question

已知函數，其中且.
（1）討論的單調性；
(2) 若不等式恒成立，求實數取值范圍；
（3）若方程存在兩個異號實根，，求證：

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷導數的單調性、利用導數求函數的單調性、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先求函數的定義域，對求導，由于，所以討論a的正負，利用的正負，判斷函數的單調性；第二問，結合第一問的結論，當時舉一反例證明不恒成立，當時，將恒成立轉化為恒成立，令，利用導數求的最小值；第三問，要證，需證，令，利用函數的單調性，解出的大小.
(１)的定義域為.
其導數                   2分
①當時,,函數在上是增函數;
②當時,在區間上,;在區間(0,+∞)上,．
所以,在是增函數,在(0,+∞)是減函數.             4分
(２)當時, 則取適當的數能使，比如取，
能使, 所以不合題意 6分
當時，令,則
問題化為求恒成立時的取值范圍.
由于 
在區間上,;在區間上,.     8分
的最小值為,所以只需
即,,            10分
(３)由于存在兩個異號根，不仿設，因為,所以                                11分
構造函數:()


所以函數在區間上為減函數. ,則,
于是,又,,由在上為減函數可知.即                 14分