Question

設L為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．
(1)求L的方程；
(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方．

Answer 1

（1）y＝x－1
（2）見解析

(1)設f(x)＝，則f′(x)＝
所以f′(1)＝1，所以L的方程為y＝x－1.
(2)證明：令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)>0(?x>0，x≠1)．
g(x)滿足g(1)＝0，且
g′(x)＝1－f′(x)＝.
當0＜x＜1時，x²－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)單調遞減；
當x>1時，x²－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調遞增．
所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)．
所以除切點之外，曲線C在直線L的下方．