Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個菱形，三角形PAD是一個等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點E在線段PC上，且PE＝3EC．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點,連接,根據等邊三角形的性質證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）取中點,連接,

由條件知均為等邊三角形，

因此,

而

由線面垂直定理可證,

又

即證

（2）由（1）知，

從而；

以建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，則，，，

,

，

設面的法向量為

則 可得；

設面的法向量為

則 可得

由圖知二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.