Question

（理）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1 且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）記bn=

1

an- 1 2

(n≥1)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（2）求{b_n}、{a_nb_n}的通項公式．
（3）求{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，代入8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），化簡可得b_n+1=2b_n-

4

3

，通過變形可判斷{bn-

4

3

}為等比數(shù)列，從而求得b_n，進而求得b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）可知b_n，由an=

1

bn

+

1

2

可求得a_n，從而求得a_nb_n的表達式；
（3）利用分組求和法可求得前n項和S_n．

解答：解：（1）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，
代入8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），得8（

1

bn+1

+

1

2

）（

1

bn

+

1

2

）-16（

1

bn+1

+

1

2

）+2（

1

bn

+

1

2

）+5=0，
化簡得b_n+1=2b_n-

4

3

，則b_n+1-

4

3

=2（bn-

4

3

），
所以{bn-

4

3

}為等比數(shù)列，其公比為2，首項為b1-

4

3

=

1

a1- 1 2

-

4

3

=

2

3

，
所以bn-

4

3

=

2

3

•2^n-1=

2n

3

，
所以b_n=

2n

3

+

4

3

，
所以b₁=

2

3

+

4

3

=2，b₂=

22

3

+

4

3

=

8

3

，b3=

23

3

+

4

3

=4，b4=

24

3

+

4

3

=

20

3

；
（2）由（1）求解過程可知b_n=

2n

3

+

4

3

，
則an=

1

bn

+

1

2

=

3

2n+4

+

1

2

，
所以a_nb_n=（

3

2n+4

+

1

2

）（

2n

3

+

4

3

）=1+

2n-1+2

3

=

5

3

+

2n-1

3

；
（3）S_n=（

5

3

+

1

3

）+（

5

3

+

2

3

）+…+（

5

3

+

2n-1

3

）=

5

3

n+

1 3 (1-2n)

1-2

=

5

3

n+

2n-1

3

．

點評：本題考查數(shù)列求和、等差等比數(shù)列的通項公式，考查學生的計算能力、分析解決問題的能力．