Question

設拋物線y²=2px(p＞0)上有兩動點A、B（直線AB不垂直于x軸），F為焦點且|AF|+|BF|=8，又線段AB的垂直平分線恒過定點Q（6，0）.求：

（1）拋物線的方程；

（2）△AQB的面積的最大值.

Answer 1

解：（1）設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，AB的中點為M（x₀,y₀），則|AF|=x₁+,|BF|=x₂+.

所以|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8,

即p+2x₀=8.①

由y₁²=2px₁,y₂²=2px₂得y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),所以.

因為MQ垂直平分AB，所以k_MQ=，又k_MQ=,所以,

所以p=6-x₀.②

由①②得x₀=2,p=4.

故拋物線的方程為y²=8x.

（2）由（1）知，k_AB=,M(2,y₀)，所以AB的方程為y-y₀=(x-2)，代入y²=8x得y²-2y₀y+2y₀²-16=0,

由Δ＞0得-4＜y₀＜4,且y₁+y₂=2y₀,y₁y₂=2y₀²-16.

所以|AB|=.

所以S_△AQB=|AB|·|MQ|

=

=

≤.

當且僅當16+y₀²=32-2y₀²，即y₀=±時取等號.

故△AQB的面積的最大值為.

點撥：運用不等式求最值作為一種思想滲透在各種題型中，經常與其他的知識結合起來考查.因此，一定要掌握不等式的基本性質，并能對其加以靈活運用.