Question

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為（　　）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．隨Q位置變化前三種情況都有可能

Answer 1

分析：如圖所示．設Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
設直線AB：my=x-

p

2

，與拋物線聯立可得根與系數的關系y1y2=-p2．設過點A的切線為k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，與拋物線方程聯立，可得△=0．設過點B的切線為k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，與拋物線方程聯立，可得△′=0．進而即可判斷出結論．

解答：解：如圖所示．
設Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
設直線AB：my=x-

p

2

，聯立

my=x- p 2 y2=2px

，
化為y²-2pmy-p²=0，
得到y₁+y₂=2pm，y1y2=-p2．
設過點A的切線為k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，聯立

k1(y-y1)=x- y 2 1 2p y2=2px

，
化為y2-2pk1y+2pk1y1-

y

2 1

=0，
∵直線是拋物線的切線，∴△=(-2pk1)2-4(2pk1-

y

2 1

)=0，化為pk₁=y₁．
設過點B的切線為k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，同理可得pk₂=y₂．
∴p²k₁k₂=y₁y₂．
∴p2k1k2=-p2，
解得k₁k₂=-1．∴

1

k1k2

=-1．
即△ABQ是直角三角形．
故選B．

點評：本題考查了阿基米德三角形的性質、直線與拋物線相切、焦點弦問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．