Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，M是拋物線的準線上的一點，O是坐標原點．若直線MA，MF，MB的斜率分別記為：K_MA=a，K_MF=b，K_MB=c，（如圖）
（I）若y₁y₂=-4，求拋物線的方程；
（II）當b=2時，求a+c的值；
（III）如果取KMA=2，KMB=-

1

2

時，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關系．并說明理由．

Answer 1

分析：（I）設直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)，由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得

k

2p

y2-y-

kp

2

=0，由此能求出拋物線的方程．
（II）設M(-

p

2

，y0)則b=

y0

- p 2 - p 2

=2，所以y₀=-2p，由此能夠推導出a+c=

8p2

2p2

=4．
（III）設直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ₁，θ₂，θ₃，則∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂，tanθ1=2，tanθ3=-

1

2

，由此能夠導出|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO．

解答：解：（I）設直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去x得

k

2p

y2-y-

kp

2

=0
所以y₁y₂=-p²=-4
因為p＞0，所以p=2
所以此拋物線的方程為y²=4x
（II）設M(-

p

2

，y0)則b=

y0

- p 2 - p 2

=2，所以y₀=-2p
所以a+c=

y1+2p

x1+ p 2

+

y2+2p

x2+ p 2

=

y1+2p

1 k y1+p

+

y1+2p

1 k y1+p

=

2ky1y2+pk(2+k)(y1+y2)+4p2

y1y2+pk(y1+y2)+p2

由（*）得y₁y₂=-p²，(y1+y2)=

2p

k

所以a+c=

8p2

2p2

=4
（III）設直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ₁，θ₂，θ₃，
則∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂tanθ1=2，tanθ3=-

1

2

所以θ₁+θ₃=

π

2

所以|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．