Question

已知函數f（x）=

x2+ax+4

x

（x＞0）．
（1）求證：函數f（x）在[2，+∞）單調遞增；
（2）A={x|x²-5x+4＜0}，B={x|f（x）＜2}，若B⊆A，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用,利用導數研究函數的單調性

專題：不等式的解法及應用,集合

分析：（1）根據函數f（x）的解析式，求出函數的導函數，根據當x∈[2，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，得到函數f（x）在[2，+∞）單調遞增；
（2）解不等式求出集合A，B，根據集合子集的定義，結合B⊆A分類討論滿足條件的a的取值范圍．

解答： 證明：（1）∵f（x）=

x2+ax+4

x

（x＞0）．
∴f′（x）=

x2-4

x2

，
當x∈[2，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
故函數f（x）在[2，+∞）單調遞增；
（2）∵A={x|x²-5x+4＜0}=（1，4），
f（x）＜2，即x²+（a-2）x+4＜0，
當△=（a-2）²-16＜0，
即-2＜a＜6時，B=∅，滿足B⊆A，
當△=（a-2）²-16≥0，
即a≤-2或a≥6時，B≠∅，
令h（x）=x²+（a-2）x+4，
若B⊆A，則

h(1)≥0 h(4)≥0 △=(a-2)2-16≥0 1≤ 2-a 2 ≤4

解得-3≤a≤-2，
綜上所述a的取值范圍為[-3，6）

點評：本題考查的知識點是集合包含關系判斷及應用，利用導數研究函數的單調性，是函數圖象與性質，不等式與集合的綜合應用，難度中檔．