Question

用數(shù)學歸納法證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N⁺）．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：直接利用數(shù)學歸納法證明問題的步驟，證明不等式即可．

解答： 證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=2，1＜2，所以不等式成立．…（3分）
（2）假設(shè)m=k時不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，…（5分）
則當n=k+1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k(k+1) +1

k+1

＜

k+k+1+1

k+1

=2

k+1

，…（10分）
即當n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，對于任意n∈N⁺時，不等式成立． …（12分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法證明含自然數(shù)n的表達式的證明方法，注意n=k+1的證明時，必須用上假設(shè)．