Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E為PB的中點AC與BD交于點M，
（1）求證：ME∥PD；
（2）當PD=

2

AB，求AE與平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由底面ABCD是正方形，AC與BD交于點M，知M是BD中點，又E為PB的中點，由此能證明ME∥PD．
（2）由已知條件得AM⊥BD，從而AM⊥平面PBD，進而∠AEM是AE與平面PBD所成的角，由此能求出AE與平面PBD所成的角的正切值．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是正方形，AC與BD交于點M，
∴M是BD中點，又E為PB的中點，
∴ME是△PBD的中位線，
∴ME∥PD．
（2）解：∵PD⊥底面ABCD，ME∥PD，
∴ME⊥底面ABCD，∴AM⊥EM，
又底面ABCD是正方形，AC與BD交于點M，
∴AM⊥BD，又BD∩EM=M，
∴AM⊥平面PBD，
∴∠AEM是AE與平面PBD所成的角，
∵PD=

2

AB，∴EM=

1

2

PD=

2

2

AB，
∵AM=

1

2

AC=

1

2

2AB2

=

2

2

AB，
∴tan∠AEM=

AM

EM

=1．
∴AE與平面PBD所成的角的正切值為1．

點評：本題考查直線與直線平行的證明，考查線面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．