Question

已知圓M的圓心在直線y=x上，且與直線2x+y-2=0相切于點P（1，0），
（1）求圓M的標準方程；
（2）若圓M與圓N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1交于A，B兩點，且這兩點平分圓M的圓周，求圓N的半徑的最小值及此時圓N的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓M的圓心在直線y=x上，設出圓心C的坐標為（a，a），由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出MP的長度即為圓的半徑，然后根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標及半徑，然后根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；
（2）欲求半徑最小時圓N的方程，由于圓N半徑r=

n2+1

，只須求出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）因為圓M的圓心在直線y=x上，則可設圓心為C（a，a）．
由于圓M與直線2x+y-2=0相切于點P（1，0），
則點C到直線2x+y-2=0的距離d=MP，即

|2a+a-2|

22+12

=

(a-1)2+a2

，
則a²+2a+1=0，
解得a=-1．
所以圓心為C（-1，-1），半徑r=d=

5

，
則所求圓的方程是（x+1）²+（y+1）²=5．
（2）由于圓N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1，
則圓N的圓心N（2m，n），半徑r=

n2+1

，
由平面幾何知識，得：|AN|²=|AM|²+|MN|²，
所以n²+1=5+（2m+1）²+（n+1）²，
即n=-2m2-2m-3=-2(m+

1

2

)2-

5

2

≤-

5

2

，
當n=-

5

2

時，r的最小值為

29

2

，m=-

1

2

此時此時圓N的方程為：(x+1)2+(y+

5

2

)2=

29

4

．

點評：本小題主要考查圓與圓的位置關系、曲線與方程、函數最值等基礎知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．