Question

已知圓M的圓心在直線x-2y+4=0上，且與x軸交于兩點A（-5，0），B（1，0）．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求過點C（1，2）的圓M的切線方程；
（Ⅲ）已知D（-3，4），點P在圓M上運動，求以AD，AP為一組鄰邊的平行四邊形的另一個頂點Q軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）根據圓的性質，可得圓心M為AB垂直平分線與直線x-2y+4=0的交點．因此聯解兩直線的方程，得到圓心M的坐標，由兩點的距離公式算出半徑r=

10

，即可得到圓M的方程；
（II）由于點C是圓M上的點，所以過點C的圓M的切線與CM垂直．因此利用直線的斜率公式算出CM的斜率，從而得到切線的斜率k=-3，根據直線方程的點斜式列式，化簡即得所求切線的方程；
（III）設Q（x，y）、P（x₀，y₀），根據平行四邊形ADQP的對角線互相平分，利用線段的中點坐標公式列式，解出P的坐標為（x-2，y-4），代入圓M的方程化簡可得x²+（y-5）²=10．最后根據構成平行四邊形的條件，去除兩個雜點（-1，8）、（-3，4），即可得到頂點Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）∵圓M與x軸交于兩點A（-5，0）、B（1，0），
∴圓心在AB的垂直平分線上，即C在直線x=-2上．
由

x=-2 x+2y-4=0

，解得

x=-2 y=1.

，即圓心M的坐標為（-2，1）．
∴半徑r=|BM|=

(-2-1)2+(1-0)2

=

10

，
因此，圓M的方程為（x+2）²+（y-1）²=10．
（Ⅱ）∵點C（1，2）滿足（1+2）²+（2-1）²=10，
∴點C在圓M上，可得經過點C與圓M相切的直線與CM垂直．
∵CM的斜率k_CM=

1

3

，∴過點C的切線斜率為k=

-1

kCM

=-3，
由此可得過點C（1，2）的圓M的切線方程為y-2=-3（x-1），化簡得3x+y-5=0．
（Ⅲ）設Q（x，y）、P（x₀，y₀），
∵四邊形ADQP為平行四邊形，∴對角線AQ、PD互相平分，即AQ的中點也是PD的中點．
即

-5+x 2 = -3+x0 2 y 2 = 4+y0 2 .

，解得

x0=x-2 y0=y-4.

將P（x-2，y-4）代入圓M的方程，可得（x-2+2）²+（y-4-1）²=10，即x²+（y-5）²=10，
∴頂點Q在圓x²+（y-5）²=10上運動，
∵圓x²+（y-5）²=10交直線AD于點（-1，8）和（-3，4），
當Q與這兩個點重合時，不能構成平行四邊形ADQP，
∴頂點Q的軌跡方程為x²+（y-5）²=10，（點（-1，8）、（-3，4）除外）．

點評：本題給出圓M滿足的條件，求圓的方程并依此求動點的軌跡方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標準方程、直線與圓的位置關系、線段的中點坐標公式和動點軌跡方程的求法等知識點，屬于中檔題．