Question

已知圓M的圓心在直線2x-y-6=0上，且過點（1，2）、（4，-1）．
（1）求圓M的方程；
（2）設P為圓M上任一點，過點P向圓O：x²+y²=1引切線，切點為Q．試探究：平面內是否存在一定點R，使得

PQ

PR

為定值？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設圓心坐標為（m，2m-6）則利用圓過點1，2）、（4，-1），求出m即可；
（2）設P，R的坐標，利用直線和圓相切，建立方程關系，進行判斷．

解答：解：（1）∵圓M的圓心在直線2x-y-6=0上，且過點（1，2）、（4，-1）．
∴設圓心坐標為（m，2m），半徑為r，
則圓的標準范圍為（x-m）²+（y-2m+6）²=r²；
則（1-m）²+（2-2m+6）²=r²且（4-m）²+（-1-2m+6）²=r²；
即（m-1）²+（8-2m）²=r²且（m-4）²+（5-2m）²=r²；
解得m=4，r=3，
∴圓M：（x-4）²+（y-2）²=9．
（2）設P（x，y），R（a，b），
則（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，
又PQ²=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²，
故PQ²=8x+4y-12，
PR²=（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11，
又設

PQ

PR

=t為定值，
故8x+4y-12=t²[（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11]，
可得

8=(8-2a)t2            4=(4-2b)t2            -12=(a2+b2-11)t2

，
解得

a1=2   b1=1    t1= 2

或

a2= 2 5     b2= 1 5      t2= 10 3

，
綜上，存在點R（2，1）或(

2

5

 ， 

1

5

)滿足題意．

點評：本題主要考查利用待定系數法求圓的方程，以及直線與圓的位置關系應用，考查學生的運算能力．