Question

【題目】已知數列{an}滿足： ，anan+1＜0（n≥1），數列{bn}滿足：bn=an+12﹣an2（n≥1）． （Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式
（Ⅱ）證明：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，

令cn=1﹣an2，則

又 ，則數列{cn}是首項為 ，公比為 的等比數列，即 ，

故 ，

又 ，anan+1＜0

故

因為 = ，

故

（Ⅱ）假設數列{bn}存在三項br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數列，

由于數列{bn}是首項為 ，公比為 的等比數列，

于是有2bs=br+bt成立，則只有可能有2br=bs+bt成立，

∴

化簡整理后可得，2=（ ）r﹣s+（ ）t﹣s，

由于r＜s＜t，且為整數，故上式不可能成立，導致矛盾．

故數列{bn}中任意三項不可能成等差數列．

【解析】（1）對 化簡整理得 ，令cn=1﹣an2，進而可推斷數列{cn}是首項為 ，公比為 的等比數列，根據等比數列通項公式求得cn，則a2n可得，進而根據anan+1＜0求得an．（2）假設數列{bn}存在三項br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數列，由于數列{bn}為等比數列，于是有br＞bs＞bt，則只有可能有2bs=br+bt成立，代入通項公式，化簡整理后發現等式左邊為2，右邊為分數，故上式不可能成立，導致矛盾．
【考點精析】掌握數列的定義和表示和等差數列的性質是解答本題的根本，需要知道數列中的每個數都叫這個數列的項．記作an，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為n的項叫第n項（也叫通項）記作an；在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．