Question

【題目】在的方格表中取出46個方格染成紅色.證明：存在一塊由4個方格構成的區域，其中由至少3個方格被染成紅色.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先，考察的方格表.

如圖，設第一行有個方格被染成紅色，第2行有個方格被染成紅色.

下面證明：若，則必存在一塊由4個方格構成的區域，其中有至少3個方格被染成紅色，若，則只有唯一的情形（如圖）能夠使得不存在由4個方格構成的區域，其中至少3個方格被染成紅色.

將方格表從左向右分成4個方格和一個區域.若不存在至少3個方格被染成紅色的區域.則前4個方格中每個中至多有兩個方格被染成紅色，于是，總的紅色方格數不超過，矛盾.

故當時，結論成立.

當時，必存在某一列的和同時被染成紅色.為保證不存在區域中至少3個方格不被染成紅色，則要求和、和不被染成紅色，顯然，只有圖中的情形滿足.

再回到本題.

假設存在某種染色方案使得方格表中不存在有至少3個方格被染成紅色的區域.

若該方案中存在相鄰的兩行（第行和第行）滿足，則必有.若為奇數，則沿第行將方格表分成上、下兩部分，上面有偶數行，下面也有偶數行，由前面的結論知，剩下的8行中至多有個方格被染成紅色.于是，總的紅色方格數不超過.若為偶數，則沿第行劃分，有相同的結論.

若任意相鄰兩行的紅色方格數之和均不等于10，則

.

因此，無論如何染色，要使方格表中不存在有至少3個方格被染成紅色的區域，最多只能有45個方格被染成紅色，與題設矛盾.

綜上所述，必存在一塊由4個方格構成的區域，其中有至少3個方格被染成紅色.