Question

【題目】若a＞0，b＞0，且 ．
（I） 求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．

Answer 1

【答案】【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = ，

∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，

當且僅當a=b= 時取等號．

∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4 ，當且僅當a=b= 時取等號，

∴a3+b3的最小值為4 ．

（Ⅱ）∵2a+3b≥2 =2 ，當且僅當2a=3b時，取等號．

而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，

故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

【解析】（1）兩次連續代入公式，注意“=”成立條件是：當且僅當a=b.
（2）同樣代入公式，此時“=”成立的條件是2a=3b，與題目a=b不同，故不成立。
【考點精析】利用基本不等式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．