Question

【題目】如圖，矩形 中， ， ，點 是 上的動點．現將矩形 沿著對角線 折成二面角 ，使得 ．

（Ⅰ）求證：當 時， ；
（Ⅱ）試求 的長，使得二面角 的大小為 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連結 ， ．

在矩形 中， ,
, ．
在 中，∵ ,
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，

，
∴在 中， ,
,
又 ,
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，過 作 于 ，并延長交 于 . 沿著對角線 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 兩兩垂直，
以 為原點， 的方向為 軸的正方向建立空間直角坐標系 ，則
,
平面 ,
為平面 的一個法向量．
設平面 的法向量為
， ,
由 得
取 則 , ．
即 ,
．
當 時，二面角 的大小是
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，連結DF，BF．通過計算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后證明D'F⊥平面ABC．推出利用線面垂直的性質得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先說明OE，OC，OD'兩兩垂直，以O為原點，建立適當的空間直角坐標系O-xyz，求出平面AD'F的一個法向量．以及平面BD'F的法向量，通過用空間向量求平面間的夾角的方法，利用向量的數量積求解二面角的平面角的余弦值即可．