Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的圖象在x=1處的切線l過點（ ， ）．
（1）若函數g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；
（2）若a=﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，證明：x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的導數為：

f′（x）= ﹣ax+b，

可得圖象在x=1處的切線l的斜率為k=1﹣a+b，

切點為（1，1+b﹣ a），

由切線經過點（ ， ），

可得1﹣a+b= ，

化簡可得，b=0，

則f（x）=lnx﹣ ax2+1，g（x）=lnx﹣ ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），

g′（x）= ﹣ax﹣（a﹣1）=﹣ ，

當0＜x＜ 時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當x＞ 時，g′（x）＜0，g（x）遞減．

可得g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣ +1﹣1+ = ﹣lna；

（2）證明：a=﹣4時，f（x）=lnx+2x2+1，

f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，

可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=2，

化為2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

即有2（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

令t=x1x2，t＞0，設h（t）=t﹣lnt，

h′（t）=1﹣ ，當t＞1時，h′（t）＞0，h（t）遞增；當0＜t＜1時，h′（t）＜0，h（t）遞減．

即有h（t）在t=1取得最小值1，

則2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，

可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，

則2x1+2x2﹣1≥0，

可得x1+x2≥ ．

【解析】（1）對f（x）進行求導，結合切線方程得到b=0，對g（x）求導，求出g（x）的最大值，（2）當a=-4，得到f（x）的解析式，由條件化簡得到2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，t＞0，設h（t）=t﹣lnt，求導得到h（t）在t=1取得最小值，即可得到結論.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．