Question

【題目】如果的定義域為，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”.給出下列命題：

①函數具有“性質”；

②若奇函數具有“性質”，且，則；

③若函數具有“性質”，圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增；

④若不恒為零的函數同時具有“性質”和“性質”，且函數對，都有 成立，則函數是周期函數.

其中正確的是__________（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】
∴函數具有“性質”；故①正確；
②∵奇函數具有“性質”，且， 是周期為4的函數， 故②不正確；
③∵若函數具有“性質”，圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減， 對稱，
∵圖象關于點成中心對稱， 又 為偶函數，
∵圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，
∴圖象也關于點成中心對稱，且在上上單調遞減，
根據偶函數的對稱得出：在上單調遞增；故③正確；
④∵若不恒為零的函數同時具有“性質”和“性質” ，為偶函數，且周期為3，故④正確．

故答案為：①③④．