Question

【題目】已知函數（且）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，討論函數在區間上的最值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別由求出的范圍，可得增區間；由求出的范圍， 可得減區間；（2）由（1）得，當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，分四種情況討論，分別利用導數判斷函數在上的單調性，利用單調性求出極值，與的值比較大小，進而可得結果.

（1）函數的定義域是.

.

當時，令，得；令，得，

所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；

當時，令，得；令，得，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

（2）由（1）得，當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

①當，即時，函數在區間上單調遞減，所以函數在上的最大值為，最小值為；

②當，即時，函數在區間上單調遞增，所以函數在上的最大值為，最小值為；

③當，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以函數在上的最小值為.

最大值為與中的較大者.下面比較與的大小：

因為 ，

令，得，化簡得，

解得 .因為，且，

所以.

所以當時，，函數在上的最大值為；

當時，，函數在上的最大值為；

當時，，函數在上的最大值為.

綜上，當時，函數在上的最大值為，最小值為；

當時，函數在上的最大值為；最小值為；

當時，函數在上的最大值為，最小值為；

當時，函數在上的最大值為，最小值為.