Question

【題目】如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．

（1）證明：點在平面內；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.

（1）在棱上取點，使得，連接、、、，

在長方體中，且，且，

，，且，

所以，四邊形為平行四邊形，則且，

同理可證四邊形為平行四邊形，且，

且，則四邊形為平行四邊形，

因此，點在平面內；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

，，，，

設平面的法向量為，

由，得取，得，則，

設平面的法向量為，

由，得，取，得，，則，

，

設二面角的平面角為，則，.

因此，二面角的正弦值為.