Question

【題目】近期，湖北省武漢市等多個地區發生新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．為了盡快遏制住疫情，我國科研工作者堅守在科研一線，加班加點爭分奪秒與病毒抗爭，夜以繼日地進行研究．新型冠狀病毒的潛伏期檢測是疫情控制的關鍵環節之一．在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或對機體發生作用起，到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．鐘南山院士帶領的研究團隊統計了武漢市某地區10000名醫學觀察者的相關信息，并通過咽拭子核酸檢測得到1000名確診患者的信息如下表格：

潛伏期（單位：天）
人數	800	190	8	2

（1）求這1000名確診患者的潛伏期樣本數據的平均數（同一組數據用該組數據區間的中點值代表）．

（2）新型冠狀病毒的潛伏期受諸多因素影響，為了研究潛伏期與患者性別的關系，以潛伏期是否超過7天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取100名，得到如下列聯表．請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為潛伏期與患者性別有關．

	潛伏期≤7天	潛伏期>7天	總計
男性患者		12
女性患者			50
總計			100

（3）由于采樣不當標本保存不當采用不同類型的標本以及使用不同廠家試劑都可能造成核酸檢測結果“假陰性”而出現漏診．當核酸檢測呈陰性時，需要進一步進行血清學抗體檢測，以彌補核酸檢測漏診的缺點．現對10名核酸檢測結果呈陰性的人員逐一地進行血清檢測，記每個人檢測出（是近期感染的標志）呈陽性的概率為且相互獨立，設至少檢測了9個人才檢測出呈陽性的概率為，求取得最大值時相應的概率．

附：，其中．

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（1）4.984天（2）見解析，不能有90%的把握認為潛伏期與患者年齡有關.（3）

【解析】

（1）根據平均數的計算方法，計算出平均數.

（2）根據已知條件填寫聯表，，計算出，由此判斷出不能有90%的把握認為潛伏期與患者年齡有關.

（3）求得的表達式，利用導數求得取得最大值時的的值.

（1）天

（2）

	潛伏期<7天	潛伏期≥7天	總計
男性患者	38	12	50
女性患者	42	8	50
總計	80	20	100

∵的觀測值

∴不能有90%的把握認為潛伏期與患者年齡有關.

（3）由，化簡得

令，，則．

則

令，，則

∵，令解得；令，解得；

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∵有唯一的極大值為，也是最大值.

∴當時，即時，取得最大值．