Question

【題目】已知數列{an}的首項為2，前n項和為Sn ， 且 ﹣ = （n∈N*）．
（1）求a2的值；
（2）設bn= ，求數列{bn}的通項公式；
（3）若am ， ap ， ar（m，p，r∈N* ， m＜p＜r）成等比數列，試比較p2與mr的大小，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，且 ﹣ = （n∈N*）．∴ = ，解得a2=
（2）解：由 ﹣ = （n∈N*），可得：4Sn﹣1= ，

當n≥2時，4Sn﹣1﹣1= ，

相減可得：4an= ﹣ ，an≠0，

可得： ﹣ =2，變形為 ﹣ =2，

化為： ﹣ =1，

∴bn﹣bn﹣1=1，

∴數列{bn}是等差數列，首項為 = ，公差為1．

∴bn= +（n﹣1）=

（3）解：由（2）可得： = ，化為： = ．

∴an= × ×…× × ×a1= × ×…× × ×2= ．n=1時也成立．

∴an= ．

∵am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比數列，

∴ =amar，

∴ = × ，

化為：（4p﹣1）2=（4m﹣1）（4r﹣1），

∴（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1≤16mr﹣8 +1= ，

∴4p﹣1≤4 ﹣1，

可得p2≤mr，等號不成立，因此p2＜mr

【解析】（1）由a1=2，且 ﹣ = （n∈N*）．n=1時可得： = ，解得a2 ． （2）由 ﹣ = （n∈N*），可得：4Sn﹣1= ，當n≥2時，利用遞推關系可得： ﹣ =2，化為： ﹣ =1，即bn﹣bn﹣1=1，利用等差數列的通項公式即可得出．（3）由（2）可得： = ，化為： = ．利用“累乘求積”可得：an= ．由am ， ap ， ar（m，p，r∈N* ， m＜p＜r）成等比數列，可得 = × ，（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1，再利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．