Question

橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

6

3

，并與直線y=x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過圓D：x²+y²=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線m，n． 求證：m⊥n．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過離心率得到a、b關系式，設出橢圓C的方程，利用直線y=x+2與橢圓相切，△=0．由此得b²=1；求出橢圓方程即可．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）．當x0=±

3

時，有一條切線斜率不存在，證明m⊥n．
設x0≠±

3

，則兩條切線斜率存在．設直線m的斜率為k，則其方程為y-y₀=k（x-x₀），聯立

x2

3

+y2=1，由△=0可得：(3-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0，由韋達定理得到k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

，由于點P在圓D：x²+y²=4上，得到3-

x

2 0

=-(1-

y

2 0

)，即可證明m⊥n．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

6

3

知a²=3b²，
橢圓方程可設為 

x2

3b2

+

y2

b2

=1．又直線y=x+2與橢圓相切，代入后方程4x²+12x+12-3b²=0滿足△=0．由此得b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．----------------（6分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）．當x0=±

3

時，有一條切線斜率不存在，此時，剛好y₀=±1，可見，另一條切線平行于x軸，m⊥n；----------------（7分）
設x0≠±

3

，則兩條切線斜率存在．設直線m的斜率為k，則其方程為y-y₀=k（x-x₀）
即y=kx+y₀-kx₀．代入

x2

3

+y2=1并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0．---------------（9分）
由△=0可得：(3-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0---------------（11分）
注意到直線n的斜率也適合這個關系，所以m，n的斜率k₁，k₂就是上述方程的兩根，由韋達定理，k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

．---------------（13分）
由于點P在圓D：x²+y²=4上，3-

x

2 0

=-(1-

y

2 0

)，所以k₁k₂=-1．這就證明了m⊥n．
綜上所述，過圓D上任意一點P作橢圓C的兩條切線m，n，總有m⊥n．------（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與圓的位置關系，直線與橢圓方程的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．