Question

若曲線x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一點關于直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的對稱點仍在曲線上，則

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：由題意，曲線x²+y²+2x-4y+1=0表示的是以（-1，2）為圓心的圓，則直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）過圓心，從而可得a+b=1（a，b∈R⁺），利用利用不等式即可．

解答： 解：曲線x²+y²+2x-4y+1=0表示的是以（-1，2）為圓心的圓，
故由曲線x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一點關于直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的對稱點仍在曲線上可得，
直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）過點（-1，2），
則-2a-2b+2=0，
即a+b=1（a，b∈R⁺），
則

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥4．
（當且僅當a=b=

1

2

時，等號成立）
故答案為：4．

點評：本題考查了恒成立問題及圓的結構特征，同時考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．