Question

設函數f（x）=x²+|x-a|，g（x）=

a

x

．
（1）當a=0時，解關于x的不等式f（x）＞2；
（2）求函數f（x）的最小值；
（3）若?t∈（0，2），?x∈R使f（x）=g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=0時，根據一元二次不等式的解法即可解關于x的不等式f（x）＞2；
（2）討論a的取值范圍結合一元二次函數的性質即可求函數f（x）的最小值；
（3）求出函數的最值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x²+|x|＞2，
即x²+|x|-2＞0，
解得（|x|-1）（|x|+2）＞0，
即|x|-1＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）當x≥a，f（x）=x²+x-a=（x+

1

2

）²-a-

1

4

，
當x＜a，f（x）=x²-x+a=（x-

1

2

）²+a-

1

4

，
若a≥

1

2

時，x≥a，則f（x）_min=f（a）=a²，x＜a時，f（x）_min=f（

1

2

）=a-

1

4

＜a²，∴f（x）_min=a-

1

4

．
當-

1

2

≤a≤

1

2

時，x≥a，則f（x）_min=f（a）=a²，x＜a時，f（x）＞f（a）=a²，∴f（x）_min=a²．
當a＜-

1

2

時，x≥a，f（x）_min=f（-

1

2

）=-a-

1

4

，x＜a時，f（x）＞f（a）=a²＞-a-

1

4

＜a²，
∴f（x）_min=-a-

1

4

．
綜上，a≥

1

2

時，f（x）_min=a-

1

4

．
當-

1

2

≤a≤

1

2

時，f（x）_min=a²．
當a＜-

1

2

時，f（x）_min=-a-

1

4

．
（3）由題意得，函數g（t），t∈（0，2）的值域包含于函數f（x）的值域，因為恒有f（x）＞0
則g（t）=

a

t

＞0，t∈(0，2)，則a＞0，且g（t）=

a

t

是減函數，
則g（t）＞

a

2

，
若a≥

1

2

時由

a

2

≥a-

1

4

．解得a≤

1

2

，此時a=

1

2

，
若0＜a＜

1

2

時，

a

2

≥a²，解得a＜

1

2

，
綜上0＜a≤

1

2

．

點評：本題主要考查不等式的求解以及一元二次函數最值的應用，綜合性較強，注意求解過程中要注意分類討論．