Question

已知函數f（x）=2cosx（

3

sinx-cosx）+1（x∈R）
（1）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，

5π

12

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

10

13

，x₀∈[

π

2

，

7π

12

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）函數f（x）可化簡為f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可求最小正周期及在區間[0，

5π

12

]上的最大值和最小值；
（2）先求出sin（2x₀-

π

6

），cos（2x₀-

π

6

）的值，從而cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=-

5+12 3

26

．

解答： 解：（1）由f（x）=2cosx（

3

sinx-cosx）+1（x∈R）得
f（x）=

3

（2sinxcosx）-（2cos²x-1）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
所以函數f（x）的最小正周期為π
因為f（x）=2sin（2x-

π

6

）在區間[0，

π

3

]上是增函數，在區間[

π

3

，

5π

12

]上為減函數，
又f（0）=-1，f（

π

3

）=2，f（

5π

12

）=

3

，
所以函數f（x）在區間[0，

5π

12

]上的最大值為2，最小值為-1．
（Ⅱ）解：由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）
又因為f（x₀）=

10

13

，所以sin（2x₀-

π

6

）=

5

13

由x₀∈[

π

2

，

7π

12

]，得2x₀-

π

6

∈[

5π

6

，π]
從而cos（2x₀-

π

6

）=-

1-sin2(2x0- π 6 )

=-

12

13

所以cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=cos（2x₀-

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀-

π

6

）sin

π

6

=-

5+12 3

26

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，屬于基礎題．