Question

在等差數列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，記數列{

1

an

}的前n項和為S_n，
（Ⅰ）數列{a_n}的通項a_n=

 

；
（Ⅱ）若S_2n+1-S_n≤

m

15

對n∈N^*恒成立，則正整數m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質,等差數列的前n項和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由差數列{a_n}中a₂=5，a₆=21，求出公差，即可求出等差數列的通項公式；
（Ⅱ）求出數列{

1

an

}的通項公式，證明數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，可其最大值，進而可得m的取值范圍，結合m為正整數可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵在等差數列{a_n}中a₂=5，a₆=21，
∴公差d=

21-5

6-2

=4
∴a_n=5+4（n-2）=4n-3；
（Ⅱ）

1

an

=

1

4n-2

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）-（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，
∴數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

∴只需

14

45

≤

m

15

，變形可得m≥

14

3

，
又∵m是正整數，∴m的最小值為5．
故答案為：4n-3；5．

點評：本題考查數列與不等式的結合，證數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列并求數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解決問題的關鍵，屬中檔題．