Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁=-1，S_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-4（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得三點A_n（b_n，a_n），A_m（b_m，a_m），A_k（b_k，a_k）落在圓C上？請說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（I）S_n+1+2S_n=-1，再寫一式S_n+2+2S_n+1=-1，兩式相減整理得a_n+2=-2a_n+1從而可知數列{a_n}是首項為-1，公比為-2的等比數列，故可求其通項公式
（II）假設存在，利用圓心C在x軸上，故可設圓C的方程為：x²+y²+Dx+F=0，代入化簡可證．

解答： 解：（I）∵S_n+1+2S_n=-1，∴S_n+2+2S_n+1=-1，
兩式相減整理得a_n+2=-2a_n+1，
又a₁=S₁=-1，a₂=-2a₁，
∴數列{a_n}是首項為-1，公比為-2的等比數列，
其通項公式是a_n=-（-2）^n-1（n∈N^*）．
假設點列{A_n（b_n，a_n）}中存在三點A_n（3n-4，-（-2）^n-1），A_m（3m-4，-（-2）^n-1），A_k（3k-4，-（-2）^k-1）（n＞m＞k≥1）落在圓C上．
因圓心C在x軸上，故可設圓C的方程為：x²+y²+Dx+F=0．…（10分）
從而9n²-24n+16+4^n-1+（3n-4）D+F=0    ①
9m²-24m+16+4^m-1+（3m-4）D+F=0        ②
9k²-24k+16+4^k-1+（3k-4）D+F=0          ③
由①-②，②-③得9（n+m）（n-m）-24（n-m）+（4^n-1-4^m-1）+3（n-m）D=0 ④
9（m+k）（m-k）-24（m-k）+（4^m-1-4^k-1）+3（m-k）D=0        ⑤
由④-⑤整理得9（n-k）+

4k-1

(n-m)(m+k)

[

1

(m-k)(n-k)

•(

4n-k

n-k

-

4m-k

m-k

)+（n-m）]=0，
∵n＞m＞k≥1，∴設函數f（x）=

4x

x

，（x≥1），由f′（x）=

4x(xlnx-1)

x2

＞0，
知函數f（x）=

4x

x

，（x≥1），是增函數．產生矛盾．
故點列{A_n（b_n，a_n）}中不存在三點落在圓C上．

點評：本題主要考查數列通項公式的求解，以及數列和函數的綜合應用，運算量較大，綜合性較強，是個難題．