Question

已知向量=（cos x，0），=（0，sin x），記函數f（x）=（+）²+sin 2x，
（1）求函數f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若將函數f（x）的圖象按向量平移后，得到的圖象關于坐標原點中心對稱且在[0，]上單調遞減，求長度最小的．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（+）²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos（2x-）+2 …（3分）
∴f（x）≥0，當且僅當2x-=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z時取到等號．
∴函數f（x）的最小值是0，此時x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z} …（6分）
（2）設=（m，n），函數f（x） 的圖象平移后對應的函數為g（x），則g（x）=2cos[2（x-m）-]+2+n
由題意函數g（x）的圖象關于坐標原點中心對稱，得
cos[2（0-m）-]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=-2 …（8分）
①當m=kπ+，k∈Z時，g（x）=2cos（2x-）=2sin 2x，在[0，]上單調遞增，不符合題意，舍去；
②當m=kπ+，k∈Z時，g（x）=2cos（2x+）=-2sin 2x，在[0，]上單調遞減，符合題意．…（10分）
∴=（ kπ+，-2），k∈Z【若求出的結果是（kπ+，-2），給（10分）】
∴長度最小的=（-，-2）…（12分）
分析：（1）根據平面向量數量積的運算，化簡f（x）=2cos（2x-）+2，再根據三角函數性質求解．
（2）設=（m，n），先求出函數f（x） 的圖象平移后對應的函數g（x），根據中心對稱性求出m，n的值或表達式．再結合條件要求確定長度最小的．
點評：本題考查平面向量數量積的運算，三角函數性質，考查分析解決問題、分類討論、計算能力．