Question

（2012•昌平區二模）已知向量

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（

3

，-1），-

π

2

≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）當

a

⊥

b

時，求θ的值；
（Ⅱ）求|

a

+

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據垂直的向量數量積為0，列出關于θ的方程，結合同角三角函數的關系，得tanθ=

3

，結合θ的范圍可得θ的值；
（II）根據向量模的公式，結合題中數據，化簡整理得|

a

+

b

|=

5-4sin(θ- π 3 )

，再結合θ的范圍，利用正弦函數的圖象與性質，可得|

a

+

b

|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=

3

cosθ-sinθ=0…（2分）
整理，得tanθ=

3

又∵-

π

2

≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵|

a

|=

cos2θ+sin2θ

=1，|

b

|=

3+1

=2，

a

•

b

=

3

cosθ-sinθ
∴|

a

+

b

|=

| a |2+2 a • b +| b |2

=

1+2( 3 cosθ-sinθ)+4

=

5-4sin(θ- π 3 )

…（9分）
∵-

π

2

≤θ≤

π

2

∴-

5π

6

≤θ-

π

3

≤

π

6

…（11分）
∴-1≤sin(θ-

π

3

)≤

1

2

，可得-2≤-4sin(θ-

π

3

)≤4
∴

3

≤|a+b|≤3，即|

a

+

b

|的取值范圍是[

3

，3]…（13分）

點評：本題給出向量坐標為含有θ的三角函數的形式，求向量的模的取值范圍，考查了向量數量積的坐標運算，同角三角函數的基本關系和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．