Question

已知S_n為數列a_n的前n項和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，證明：數列b_n是等比數列；
（II）求數列S_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）先根據2a_n=S_n+n得到2a_n+1=S_n+1+（n+1），然后兩式相減可得到關系式a_n+1=2a_n+1，再結合b_n=a_n+1對a_n+1=2a_n+1兩邊同時加1可得到a_n+1+1=2（a_n+1），即b_n+1=2b_n，即可證明數列b_n是等比數列．
（II）根據（I）先求出數列b_n的通項公式，進而可得到a_n和S_n的表達式，最后對數列S_n進行分組求和即可得到答案．

解答：解：（I）n=1時，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
兩式相減得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1
即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
即b_n+1=2b_n，
又b₁=a₁+1=2．
所以數列b_n是首項為2，公比為2的等比數列．
（II）由（I）知，b_n=2×2^n-1=2ⁿ，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，
由2a_n=S_n+n，得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴T_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-（1+2+3++n）-2n
=

22•(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n+2-4-

5

2

n-

1

2

n2.

點評：本題主要考查數列的通項公式的求法和數列的前n項和的求法．求數列通項公式一般有公式法、構造法、累加法、累乘法等，求數列的前n項和的方法有公式法、錯位相減法、分組法、裂項法等．