Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，點列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直線y=x上．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求數列{

1

anan+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用點列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直線y=x上，可得Sn=n2，再寫一式，兩式相減，即可得到結論；
（2）確定求數列{

1

anan+1

}的通項，利用裂項法，即可求和．

解答：解：（1）依題意有

Sn

n

=n，即Sn=n2…（1分）
當n=1時時，a₁=S₁=1…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1…（5分）
又n=1時時上式也成立
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（6分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，考查數列的通項與求和，考查裂項法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．