Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n；數列滿足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9項和為153
（1）{b_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列{c_n}的前n項和，c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

，求使不等式T n＞

k

57

對?n∈N₊都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

2

n2+

11

2

n可知，當n=1時，a₁=S₁=6；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+5，可得{a_n}的通項，又由已知可得bn+1=

bn+bn+2

2

，即{b_n}是等差數列，設其公差為d．有

b1+2d=11 9b1+36d=153

可解得

b1=5 d=3

，可得通項；
（2）把（1）的結果代入可得cn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由列項相消法可得T_n，進而可求得T_n的最小值，只需其最小值（T_n）_min＞

k

57

成立即可，解之可得．

解答：解：（1）∵Sn=

1

2

n2+

11

2

n，∴當n=1時，a₁=S₁=6；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

11

2

n-

1

2

(n-1)2-

11

2

(n-1)=n+5
經驗證，當n=1時，上式也適合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴bn+1=

bn+bn+2

2

，
∴{b_n}是等差數列，設其公差為d．
則

b1+2d=11 9b1+36d=153

解得

b1=5 d=3

，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

2n+1

∵n∈N₊，∴T_n是單調遞增數列，
∴當n=1時，（T_n）_min=T₁=1-

1

3

=

2

3

∴Tn＞

k

57

對?n∈N₊都成立，等價于（T_n）_min＞

k

57

成立，
即

2

3

＞

k

57

，解得k＜38
∴所求最大正整數k的值為37．

點評：本題為數列和不等式的綜合應用，涉及求數列的通項，數列的求和以及恒成立問題，屬中檔題．