Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，

a

=（S_n，1），

b

=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），

a

⊥

b

．
（1）證明：數列{

an

2n

}為等差數列；
（2）若bn=

n-2011

n+1

an，且存在n₀，對于任意的k（k∈N₊），不等式bk≤bn0成立，求n₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式得到數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證得結論；
（2）先求出數列的通項，利用b_n+1≥b_n，確定n的范圍，由此可得結論．

解答：（1）證明：∵

a

=（S_n，1），

b

=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），

a

⊥

b

．
∴-Sn+2an+2n+1=0
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
兩式相減可得an+1=2an-2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

-1
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=-1
∴數列{

an

2n

}為等差數列；
（2）解：∵n=1時，-S1+2a1+21+1=0，∴a₁=-4，∴

a1

2

=-2
∴

an

2n

=-2-（n-1）=-（n+1），
∴bn=

n-2011

n+1

an=（2011-n）×2ⁿ，
令b_n+1≥b_n，則（2010-n）×2ⁿ⁺¹≥（2011-n）×2ⁿ，∴n≤2009
∴當1≤n＜2009時，b_n+1＞b_n，當n=2009時，b_n=b_n+1
當n＞2009時，b_n+1＜b_n∴b₁＜b₂＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀＞b₂₀₁₁＞…
∴n₀=2009或2010．

點評：本題考查向量的數量積，考查數列遞推式，考查等差數列的證明．考查數列的通項，正確求通項是關鍵．