Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，左，右焦點分別是F1 ， F2 ， 以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）線段PQ是橢圓C過點F2的弦，且 =λ ．
（i）求△PF1Q的周長；
（ii）求△PF1Q內切圓面積的最大值，并求取得最大值時實數λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，可得a=2， 又 = ，a2﹣c2=b2 ， 可得c=1，b= ，
即有橢圓C的方程為 =1．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．
線段PQ是橢圓C過點F2的弦，則△PF1Q的周長=4a=8．
（ii）因為三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，
且△F1PQ的周長是定值8，所以只需求出△F1PQ面積的最大值．
設直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
|y1﹣y2|= = =12 ．
于是 = |F1F2||y1﹣y2|=12 ，設m2+1=t≥1．
∵ = = ≤ ，
∴S△F1PQ≤3，
所以內切圓半徑r= ≤ ，此時m=0，λ=1．
因此其面積最大值是 π
【解析】（Ⅰ）由題意可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，又 = ，a2﹣c2=b2 ， 解出即可得出．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．線段PQ是橢圓C過點F2的弦，則△PF1Q的周長=4a．（ii）因為三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F1PQ的周長是定值8，所以只需求出△F1PQ面積的最大值．設直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設P（x1 ， y1span>），Q（x2 ， y2），|y1﹣y2|= ，于是 = |F1F2||y1﹣y2|，進而得出．