Question

【題目】已知數列{an}中， （Ⅰ）求證： 是等比數列，并求{an}的通項公式an；
（Ⅱ）數列{bn}滿足 ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 若不等式 對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由 ，得 = =1+ ， 即 +1=2（ ），
又 ，∴ 是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴ +1=2×2n﹣1=2n ， 即 ．
解：（Ⅱ）bn= ，
Tn=1× +…+（n﹣1）× ，
= ，
兩式相減得：
= ﹣n× =2﹣ ，
Tn=4﹣ ，
∴（﹣1）nλ＜4﹣ ，
令Sn=4﹣ ，由題意知Sn單調遞增．
若n為偶數，則λ＜4﹣ ，Sn|min=S2=3，
∴λ＜3．
若n為奇數，則﹣λ＜4﹣ ，Sn|min=S1=2，
∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2，
∴﹣2＜λ＜3．即λ的取值范圍是（﹣2，3）．
【解析】（Ⅰ）由 ，得 +1=2（ ），由此能證明 是以2為首項，2為公比的等比數列，并能求出{an}的通項公式an ． （Ⅱ）由bn= ，利用錯位相減法能求出Tn=4﹣ ，從而（﹣1）nλ＜4﹣ ，由此能求出λ的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．