Question

【題目】已知定義域為R的偶函數f（x）滿足對任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=﹣（x﹣2）2+1．若函數y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三個零點，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（ ， 3）
B.（ ， ）
C.（3，12）
D.（ ， 12）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數．
當x∈[2，3]時，f（x）=﹣（x﹣2）2+1，
若x∈[0，1]，則x+2∈[2，3]，
則f（x）=f（x+2）=﹣（x+2﹣2）2+1=﹣x2+1，
即f（x）=﹣x2+1，x∈[0，1]，
若x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]，
即f（﹣x）=﹣x2+1=f（x），
即f（x）=﹣x2+1，x∈[﹣1，0]，
綜上f（x）=﹣x2+1，x∈[﹣1，1]，
由函數y=f（x）﹣a（x﹣）=0，
得函數f（x）=a（x﹣），
設y=a（x﹣），
作出函數f（x）和y=a（x﹣）的圖象如圖，
要使函數y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三個零點，
則a＞0，
當x∈[1，2]，則x﹣2∈[﹣1，0]，
則f（x）=f（x﹣2）=﹣（x﹣2）2+1，x∈[1，2]，
當x∈[3，4]，則x﹣2∈[1，2]，
則f（x）=f（x﹣2）=﹣（x﹣4）2+1，x∈[3，4]，
由﹣（x﹣2）2+1=a（x﹣）整理得x2+（a﹣4）x+3﹣a=0，
由判別式△=（a﹣4）2﹣4（3﹣a）=0，
整理得3a2﹣13a+12=0得a=3（由圖象知不合適）或a= ，
由﹣（x﹣4）2+1=a（x﹣）整理得x2+（a﹣8）x+15﹣a=0，
由判別式△=（a﹣8）2﹣4（15﹣a）=0，
整理得3a2﹣37a+12=0得a=12（由圖象知不合適）或a= ，
綜上，要使函數y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三個零點，
則＜a＜ ，
故選：B