Question

（2013•閘北區一模）設點F₁（-c，0），F₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

PF1

•

PF2

最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設定點D（m，0），已知過點F₂且與坐標軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，滿足|AD|=|BD|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，利用數量積得到

PF1

•

PF2

表達式，根據其取得最小值的條件即可得出c，進而得出橢圓的方程；
（2）利用點斜式得到直線l的方程，與橢圓方程聯立，再利用根與系數的關系及垂直平分線的性質即可求出m的范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），則

F1P

=(x+c，y)，

F2P

=(x-c，y)，
∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]，
由題意得，1-c²=0⇒c=1⇒a²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．                                 
（2）由（1）得F（1，0），設l的方程為y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，∴y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k

2k2+1

，
設AB的中點為M，則M(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，
∵|AD|=|BD|，∴DM⊥AB，即k_DM•k_AB=-1，∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

k=0?(1-2m)k2=m
∵直線l與坐標軸不垂直，∴k2=

m

1-2m

．
∴

m

1-2m

＞0?0＜m＜

1

2

．

點評：熟練掌握橢圓的定義與性質、向量的數量積、線段的垂直平分線的性質、直線與圓錐曲線相交問題的解題模式、一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．