Question

已知數列{a_n}是首項為a等于1且公比q不等于1的等比數列，S_n是其前n項的和，a₁，2a₇，3a₄成等差數列．
（1） 求和 T_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2；
（2） 證明 12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．

Answer 1

分析：由題意a₁，2a₇，3a₄成等差數列可得4a₇=a₁+3a₄，由于問題中兩個問題都只和公比的三次方有關，故從此等式中解出公比的三次方即可，
（1）是等比數列中項的序號為3的倍數n個項的和，它們組成一個新的等比數列，公比為原來數列公比的三次方，由求和公式求和即可．
（2）證明三數成等比數列，需要先求出前必項和公式，然后將公式代入由等比關系轉化成的方程進行驗證證明即可．

解答：解：由a₁，2a₇，3a₄成等差數列，
得4a₇=a₁+3a₄，即4aq⁶=a+3aq³．
變形得（4q³+1）（q³-1）=0，所以q3=-

1

4

，或q³=1（舍去）．
（1）T_n=a₁+a₄+a₇++a_3n-2
=1+q3+q6++q3n-3=

1-q3n

1-q3

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]；
（2）由

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

．

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1
=1+q6-1=q6=

1

16

=

S6

12S3

，
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．

點評：本題考查數列前n項和公式及其有關的綜合題，屬于等比數列的性質靈活運用題．