Question

已知數列{a_n}是首項a₁=

1

4

的等比數列，其前n項和S_n中S₃，S₄，S₂成等差數列，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log

1

2

|a_n|，若T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求證：

1

6

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）若q=1，則S₃=

3

4

，S₄=1，S₂=

1

2

，顯然S₃，S₄，S₂不構成等差數列，所以q≠1；當q≠1時，由S₃，S₄，S₂成等差數列得2•

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q2)

1-q

，可求公比，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據b_n=log

1

2

|a_n|=n+1，可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，可求T_n，進而可得{T_n}是遞增數列，故可得證．

解答：（1）解：若q=1，則S₃=

3

4

，S₄=1，S₂=

1

2

，顯然S₃，S₄，S₂不構成等差數列．
∴q≠1，
當q≠1時，由S₃，S₄，S₂成等差數列得2•

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q2)

1-q

∴2q²-q-1=0
∵q≠1，∴q=-

1

2

∵a₁=

1

4

∴an=(-

1

2

)n+1
（2）證明：∵b_n=log

1

2

|a_n|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

∴Tn+1-Tn=

1

(n+2)(n+3)

＞0，
∴{T_n}是遞增數列．
∴T₁≤T_n
∴

1

6

≤T_n＜

1

2

．

點評：本題以等比數列為載體，考查數列的通項公式，考查裂項法求數列的和，考查不等式的證明，解題的關鍵是裂項法求數列的和．