Question

已知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，又數列{b_n}的前n項和S_n=na_n．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=

1

bn(2an+3)

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，知a_n=2n-1，由數列{b_n}的前n項和S_n=na_n，知Sn=2n2-n．由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=4n-3，a_n=2n-1，知cn=

1

bn(2an+3)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∵a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∵數列{b_n}的前n項和S_n=na_n，
∴Sn=2n2-n．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=4n-3，
∵b₁=S₁=2-1=1符合上式，
∴b_n=4n-3，n∈N^*．
（Ⅱ）∵b_n=4n-3，a_n=2n-1，
∴cn=

1

bn(2an+3)

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)
=

n

4n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意公式法和裂項求和法的合理運用．