Question

已知數列{a_n}是首項a₁=a，公差為2的等差數列，數列{b_n}滿足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比數列，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求實數a的取值范圍；
（3）數列{c_n}滿足 cn+1-cn=(

1

2

)n(n∈N*)，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，當a=-20時，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）根據a₁、a₃、a₄成等比數列，建立等式關系，可求出a的值，從而求出數列{a_n}的通項公式；
2）根據題意數列{a_n}是等差數列可得其通項公式為a_n=2n+（a-2），進而得到b_n的表達式，是一個關于n的二次式，結合二次函數的性質解決問題即可．

解答：解：（1）因為a₁、a₃、a₄成等比數列，所以a₁•a₄=a₃²，即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8．
所以a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2，…（6分）
由題意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因為cn+1-cn=(

1

2

)n，
所以c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

…（13分）
所以f（n）=b_n+c_n=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，
則f(n+1)=(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n]-[n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1]=2n+1+(

1

2

)n-10=2n+(

1

2

)n-9…（14分）
所以當k＞10時，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＞0
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以當1≤n≤4時，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＜8+

1

2

-9＜0
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）
f(n)=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1=n2-10n-9-(

1

2

)n-1
所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-

545

16

…（18分）

點評：對于第二問解決此類問題的關鍵是熟悉等差數列的通項公式以及二次函數的性質，并且進行正確的運算也是關鍵，同時考查了數列的單調性求最值，屬于中檔題．