Question

若a＞0，b＞0，2a+b=2，則下列不等式：
①ab≤1；②

2a

+

b

≤2；③a²+b²≥2；④8a³+b³≥3；⑤

1

a

+

1

b

≥2．
對(duì)一切滿足條件的a，b成立的是（　　）

Answer 1

分析：①由于a＞0，b＞0，2a+b=2，利用基本不等式可得2≥2

2ab

，即可判斷出是否成立；
②由于a＞0，b＞0，2a+b=2，利用基本不等式可得(

2a

+

b

)2≤2[(

2a

)2+(

b

)2]=2（2a+b）=4，即可判斷出；
③利用a²+b²=a²+（2-2a）²=5(a-

4

5

)2+

4

5

≥

4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=

4

5

時(shí)取等號(hào)，可知最小值為

4

5

．
④由①可知：2ab＜1，k可得-6ab＞-3．利用立方差公式可得8a³+b³=（2a+b）（4a²+b²-2ab）=（2a+b）[（2a+b）²-6ab]=2（4-6ab）＞2×（4+3）=14，即可判斷出；
⑤由于a＞0，b＞0，2a+b=2，利用基本不等式可得

1

a

+

1

b

=

1

2

(2a+b)(

1

a

+

1

b

)=

1

2

(3+

b

a

+

2a

b

)≥

1

2

(3+2

b a • 2a b

)=

1

2

(3+2

2

)，即可判斷出．

解答：解：①∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴2≥2

2ab

，∴ab≤

1

2

＜1，因此成立；
②∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴(

2a

+

b

)2≤2[(

2a

)2+(

b

)2]=2（2a+b）=4，∴

2a

+

b

≤2，故成立；
③∵a²+b²=a²+（2-2a）²=5(a-

4

5

)2+

4

5

≥

4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=

4

5

時(shí)取等號(hào)，可知③不成立．
④由①可知：2ab＜1，∴-6ab＞-3．
∴8a³+b³=（2a+b）（4a²+b²-2ab）=（2a+b）[（2a+b）²-6ab]=2（4-6ab）＞2×（4+3）=14，故④不成立；
⑤∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴

1

a

+

1

b

=

1

2

(2a+b)(

1

a

+

1

b

)=

1

2

(3+

b

a

+

2a

b

)≥

1

2

(3+2

b a • 2a b

)=

1

2

(3+2

2

)，當(dāng)且僅當(dāng)b=

2

a=2(

2

-1)時(shí)取等號(hào)．
而

1

2

(3+2

2

)＞2，因此⑤成立．
綜上可知：只有①②⑤正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．