Question

（2013•山東）定義“正數對”：ln⁺x=

0，  0＜x＜1 lnx，    x≥1

，現有四個命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b；
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+2．
其中的真命題有

①③④

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：由題意，根據所給的定義及對數的運算性質對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數的解析式不一樣，故需要對a，b分類討論，判斷出每個命題的真假

解答：解：對于①，由定義，當a≥1時，a^b≥1，故ln⁺（a^b）=ln（a^b）=blna，又bln⁺a=blna，故有ln⁺（a^b）=bln⁺a；
當a＜1時，a^b＜1，故ln⁺（a^b）=0，又a＜1時bln⁺a=0，所以此時亦有ln⁺（a^b）=bln⁺a．由上判斷知①正確；
對于②，此命題不成立，可令a=2，b=

1

3

，則ab=

2

3

，由定義ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=ln2，所以ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b；由此知②錯誤；
對于③，當a≥b＞0時，

a

b

≥1，此時ln+(

a

b

)=ln (

a

b

)≥0，當a≥b≥1時，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln(

a

b

)，此時命題成立；當a＞1＞b時，ln⁺a-ln⁺b=lna，此時

a

b

＞a，故命題成立；同理可驗證當1＞a≥b＞0時，ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b成立；當

a

b

＜1時，同理可驗證是正確的，故③正確；
對于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據定義判斷出④是正確的
故答案為①③④

點評：本題考查新定義及對數的運算性質，理解定義所給的運算規則是解題的關鍵，本題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強，探究性強．易因為理解不清定義及忘記分類討論的方法解題導致無法入手致錯