Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是（　　）
①ab≤1；     ②

a

+

b

≤

2

；     ③a²+b²≥2；     ④

1

a

+

1

b

≥2．

A．①②③④

B．①③④

C．③④

D．②③④

Answer 1

分析：由a＞0，b＞0，a+b=2，知ab≤(

a+b

2

)2=1；由a＞0，b＞0，a+b=2，知(

a

+

b

)2=a+b+2

ab

＞2，即

a

+

b

＞

2

；由a＞0，b＞0，a+b=2，知（a+b）²=a²+b²+2ab=4，由ab≤1，知a²+b²≥2；由a＞0，b＞0，a+b=2，且ab≤1，知

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

≥2．

解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，
∴ab≤(

a+b

2

)2=1，故①成立；
∵a＞0，b＞0，a+b=2，
∴(

a

+

b

)2=a+b+2

ab

＞2，
∴

a

+

b

＞

2

，故②不成立；
∵a＞0，b＞0，a+b=2，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4，
∵ab≤1，
∴a²+b²≥2，故③成立；
∵a＞0，b＞0，a+b=2，且ab≤1，
∴

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

≥2．故④成立．
故選B．

點評：本題考查函數恒成立的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意均值不等式的靈活運用．